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Introduction

  • 伝達関数とは: システムの入力と出力の関係を表し、入力を出力に変換する関数。

  • ラプラス変換: 伝達関数はラプラス変換を用いて得られる。

  • 利点1: 微分方程式がかけ算で解けるようになる。

  • 利点2: システムを簡単に結合できる。

  • 利点3: 周波数解析が簡単にできる。

  • 初期値: 入出力の初期値を0と仮定することが多い。

伝達関数の定義 [1]

  • 伝達関数: システムの入出力特性を表す関数。

  • 古典制御: 伝達関数は古典制御の基礎。

  • 数式モデル: 動的システムの数式モデルは微分方程式で表される。

  • ラプラス変換: 数式モデルをラプラス変換することで伝達関数が得られる。

ラプラス変換 [1]

  • ラプラス変換: 変数変換を用いてシステムの数式モデルを扱いやすい形式に変換。

  • s領域: ラプラス変換後の世界。

  • 逆ラプラス変換: s領域で得られた解をt領域に戻す。

  • 周波数解析: ラプラス変換は周波数解析と相性が良い。

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伝達関数の利点 [1]

  • 微分方程式がかけ算で解ける: 伝達関数を用いることで、システムの出力を伝達関数と入力のかけ算だけで求められる。

  • システムの結合: 伝達関数を使うとシステムを簡単に結合できる。

  • 周波数解析: 伝達関数を用いて簡単に周波数解析ができる。

  • 極と零点: 伝達関数の極や零点を見ることでシステムの挙動を分析できる。

初期値の考え方 [1]

  • 初期値0: 入出力の初期値を0と仮定することが多い。

  • 理由1: 実際に初期値0の場合がほとんど。

  • 理由2: 初期値が何であれ伝達関数は変わらない。

  • 実用上の問題: 初期値を0に固定してもほとんど困らない。

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具体例 [1]

  • ばねマスダンパ系: 入力は台車に加わる力、出力は台車の位置。

  • 運動方程式: m\ddot{y} + c\dot{y} + ky = u

  • ラプラス変換: ms^2Y(s) + csY(s) + kY(s) = U(s)

  • 伝達関数: G(s) = 1 / (ms^2 + cs + k)

  • 出力: Y(s) = G(s) * U(s)

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