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Introduction

  • 線形代数学は、大学院入試において重要な役割を果たす数学の分野です。

  • 特に、行列、ベクトル空間、線形写像、固有値と固有ベクトル、スペクトル定理、特異値分解（SVD）などの定理が重要です。

  • これらの定理は、工学や物理学などの多くの自然現象のモデリングに不可欠です。

  • 大学院入試の準備として、これらの定理をしっかりと理解し、応用できるようにすることが求められます。

基本定理 [1]

  • 基本定理: 行空間と零空間はRnにおいて直交補空間である。

  • この定理は、行列の行空間と零空間の関係を理解するために重要です。

  • 行列のランクと零空間の次元の合計が行列の列数に等しいことを示します。

  • この定理は、線形代数の多くの応用において基礎となります。

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特異値分解（SVD） [1]

  • 特異値分解（SVD）: 行列Aに対して、直交基底（vとu）が存在し、Avi = σiuiとなる。

  • SVDは、行列を対角化する方法の一つであり、データ解析や機械学習において広く使用されます。

  • 行列の特異値は、行列の構造や特性を理解するために重要です。

  • SVDは、画像処理や信号処理などの多くの応用においても重要な役割を果たします。

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スペクトル定理 [1]

  • スペクトル定理: 対称行列Aに対して、直交基底qが存在し、Aqi = λiqiおよびA = QΛQTとなる。

  • この定理は、対称行列の固有値と固有ベクトルの関係を示します。

  • スペクトル定理は、量子力学や振動解析などの多くの物理現象のモデリングにおいて重要です。

  • この定理を理解することで、行列の対角化や固有値問題の解法が容易になります。

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線形写像 [2]

  • 線形写像: ベクトル空間VからWへの写像で、加法とスカラー倍に関して線形性を持つ。

  • 線形写像は、行列によって表現されることが多い。

  • 線形写像の核と像は、ベクトル空間の部分空間として重要な役割を果たします。

  • 線形写像の基本定理は、核の次元と像の次元の合計が元のベクトル空間の次元に等しいことを示します。

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ベクトル空間 [2]

  • ベクトル空間: ベクトルの集合で、加法とスカラー倍に関して閉じている。

  • ベクトル空間の次元は、その基底のベクトルの数によって決まる。

  • 部分空間は、ベクトル空間の部分集合であり、同じ演算に関して閉じている。

  • ベクトル空間の例としては、Rnや行列空間などがある。

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